📌 Überblick: Fourier-Methoden im Vergleich¶
| Methode | Was macht sie? | Wofür wird sie verwendet? | Was fehlt? |
|---|---|---|---|
| Fourier-Reihe (FR) | Zerlegt periodische Signale in Sinus- und Kosinuswellen | Analyse von periodischen Signalen (z. B. Wechselstrom, Musiknoten, Schwingungen) | Nur für periodische Signale geeignet |
| Fourier-Transformation (FT) | Wandelt ein Signal in ein Spektrum von Frequenzen | Zeigt, welche Frequenzen in einem Signal enthalten sind | Zeigt nicht, wann die Frequenzen auftreten |
| Diskrete Fourier-Transformation (DFT) | Macht das Gleiche wie die FT, aber für diskrete Werte (digitale Signale) | Digitale Signalverarbeitung, MP3, Bilder, Audio | Langsam für große Datenmengen |
| Fast Fourier Transform (FFT) | Schnelle Berechnung der DFT | Alles, wo Fourier in Echtzeit benötigt wird (z. B. Spracherkennung, Soundeffekte) | Hat die gleichen Einschränkungen wie DFT |
| Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) | Zerlegt das Signal in kleine Zeitabschnitte und berechnet Fourier für jeden Abschnitt | Wann welche Frequenzen auftreten (Musik, Sprache, Medizin, Radar) | Schlechte Zeitauflösung für hohe Frequenzen |
| Wavelet-Transformation | Kombination von STFT und Fourier mit flexibler Analyse | Bessere Analyse von plötzlichen Änderungen in Signalen | Komplexer zu berechnen als STFT |
🔹 1. Fourier-Reihe (FR)¶
Wann? Wenn das Signal periodisch ist.
Was passiert? Das Signal wird in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt.
💡 Beispiel:
- Eine Wechselspannung (50 Hz) kann mit der Fourier-Reihe beschrieben werden.
- Ein periodisches Musiksignal kann analysiert werden.
📊 Fourier-Reihe Ergebnis (diskrete Frequenzen bei periodischem Signal)
0Hz 50Hz 100Hz 150Hz 200Hz
|________/\______/\_______/\______/\_____|
👉 Funktioniert nur für periodische Signale.
🔹 2. Fourier-Transformation (FT)¶
Wann? Wenn das Signal nicht-periodisch ist.
Was passiert? Das Signal wird in ein kontinuierliches Frequenzspektrum umgewandelt.
💡 Beispiel:
- Eine einmalige Explosion oder ein einzelner Ton wird in alle enthaltenen Frequenzen zerlegt.
- Wird benutzt für MP3-Kompression, Noise-Filter, Bildverarbeitung.
📊 Fourier-Transformiertes Spektrum
0Hz 100Hz 200Hz 300Hz 400Hz 500Hz |_______|_______|_______|_______|_________/\______|
👉 Wir sehen alle Frequenzen, aber nicht, wann sie auftreten.
🔹 3. Diskrete Fourier-Transformation (DFT)¶
Wann? Wenn wir nur diskrete Werte (digitale Signale) haben.
Was passiert? Das Gleiche wie bei FT, aber mit einer endlichen Anzahl von Datenpunkten.
💡 Beispiel:
- Wenn wir ein digitales Mikrofon-Signal analysieren, brauchen wir DFT.
- MP3-Dateien speichern nur die wichtigsten Frequenzen aus der DFT.
📊 DFT (diskrete Frequenzwerte)
0Hz 100Hz 200Hz 300Hz 400Hz 500Hz |_______|_______|_______|_______|___/\____|______|
👉 Gleich wie FT, aber für digitale Signale.
✅ FFT (Fast Fourier Transform) ist eine optimierte Version von DFT, die schneller ist!
🔹 4. Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT)¶
Wann? Wenn sich das Signal über die Zeit verändert.
Was passiert? Das Signal wird in kleine Zeitabschnitte zerlegt und für jedes Fenster eine Fourier-Transformation berechnet.
💡 Beispiel:
- Sprachverarbeitung: Zeigt, wann „s“ oder „a“ gesprochen wird.
- Musikerkennung (Shazam): Erkennt welche Frequenzen wann auftreten.
- EKG: Analysiert Herzrhythmusstörungen.
📊 Spektrogramm (STFT-Ergebnis: Frequenz vs. Zeit)
Zeit →
0s 1s 2s 3s 4s
-------------------------------------
| 440Hz | 440Hz | 880Hz | 880Hz |
-------------------------------------
👉 Jetzt sehen wir, wann welche Frequenzen auftreten!
🔹 5. Wavelet-Transformation¶
Wann? Wenn wir eine flexiblere Frequenz-Zeit-Analyse brauchen.
Was passiert? Das Signal wird mit flexiblen Fenstern analysiert – hohe Frequenzen mit kleinen Fenstern, niedrige Frequenzen mit großen Fenstern.
💡 Beispiel:
- Gehirnwellen (EEG): Erkennt plötzliche Änderungen besser als STFT.
- Radar: Erkennt bewegte Objekte präziser als STFT.
📊 Wavelet-Analyse (Frequenzauflösung variiert mit der Zeit)
Zeit →
0s 1s 2s 3s 4s
-------------------------------------
| 440Hz | 440Hz | 880Hz | 880Hz |
|______Wavelet zeigt mehr Details____|
👉 Bessere Anpassung an schnelle und langsame Veränderungen im Signal!
📌 Finale Zusammenfassung¶
| Methode | Wann benutzen? | Was sehen wir? |
|---|---|---|
| Fourier-Reihe (FR) | Periodische Signale | Nur diskrete Frequenzen |
| Fourier-Transformation (FT) | Aperiodische Signale | Gesamtes Frequenzspektrum (aber keine Zeit-Info) |
| Diskrete Fourier-Transformation (DFT/FFT) | Digitale Signale | Diskrete Frequenzen für digitale Werte |
| Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) | Frequenzen über die Zeit | Frequenzen vs. Zeit (wann sie auftreten) |
| Wavelet-Transformation | Noch flexiblere Analyse | Frequenzauflösung passt sich der Zeit an |