Grundlagen Signale¶

1. Eigenschaften von Signalen¶

Signale sind physikalische oder mathematische Funktionen, die Informationen über ein System transportieren. Sie können in der Zeit x(t) oder im Frequenzbereich X(f) dargestellt werden

1.1 Klassifikation von Signalen¶

1.1.1 Analog vs. Digital¶

👉 Warum ist das wichtig?
Analoge und digitale Signale haben in der realen Welt sehr unterschiedliche Anwendungen. Die Wahl zwischen ihnen beeinflusst Messgenauigkeit, Störanfälligkeit und Verarbeitung.

Analoge Signale

Kontinuierlich in der Zeit und im Wertebereich.
Beispiel: Spannung eines Temperatursensors – die Temperatur kann jede beliebige Zwischenstufe annehmen.
Mathematische Darstellung: → Das ist eine Sinusschwingung mit 10 Hz, die kontinuierlich in der Zeit ist.

\[ x(t)=2sin⁡(2π10t) \]

Digitale Signale

Bestehen aus diskreten (abgetasteten) Werten.
Beispiel: Audiodatei auf deinem Computer – Das Mikrofon nimmt ein analoges Signal auf, aber die Soundkarte speichert es als Zahlenwerte.

Digitalisierte Version des obigen Signals:

\[x[n]=2sin⁡(2π10nTs)\]

Hier ist $Ts$ die Abtastzeit, die bestimmt, wie oft wir das Signal pro Sekunde speichern (z. B. 44.1 kHz bei CDs).

1.1.2 Deterministisch vs. Stochastisch¶

👉 Warum ist das wichtig?
Die Art eines Signals bestimmt, ob es mit exakten Formeln beschrieben werden kann oder ob wir mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten müssen.

Deterministische Signale¶
- Sind genau vorhersagbar.
- Beispiel: Ein Sinussignal in einer Wechselstromleitung (50 Hz Netzspannung).
Stochastisches Signal¶
- Enthalten zufällige Komponenten und lassen sich nur statistisch beschreiben.
- Beispiel: Temperaturmessungen über den Tag – kleine Schwankungen durch Wind oder Sonnenstrahlung sind zufällig.

🔎 Wichtige Anwendung:
Rauschen in einer elektrischen Schaltung ist stochastisch. Um es zu reduzieren, braucht man Filter oder statistische Methoden.

1.1.3 Periodisch vs. Aperiodisch¶

👉 Warum ist das wichtig?
Periodische Signale haben eine wiederholende Struktur, die mit Fourier-Methoden leicht analysiert werden kann.

Periodische Signale
- Wiederholen sich in festen Abständen.
- Beispiel: Sinusspannung im Stromnetz (50 Hz in Europa).
Mathematische Darstellung:

\[x(t)=sin⁡(2πf0t)\]

→ Hier ist $f0$ die Frequenz in Hz.
Aperiodische Signale
- Haben keine feste Wiederholung.
- Beispiel: Herzschlag (EKG-Signal) – es schwankt leicht und hat keine perfekte Periodizität.

🔎 Wichtige Anwendung:
Für periodische Signale kann man Fourier-Transformationen verwenden. Aperiodische Signale analysiert man oft mit der Laplace-Transformation.

Erklärung:¶

Ein deterministisches Signal kann periodisch sein, z. B. eine Sinusspannung mit einer festen Frequenz.
Ein deterministisches Signal kann aber auch aperiodisch sein, z. B. ein einmaliges Impulssignal oder ein Signal mit exponentiellem Abklingen.
Ein stochastisches Signal kann ebenfalls periodisch erscheinen, wenn es zufällige Variationen um eine Basisfrequenz hat (z. B. ein verrauschtes Sinussignal).
Ein stochastisches Signal ist oft aperiodisch, weil es zufällige Schwankungen enthält (z. B. thermisches Rauschen in einer Schaltung).

Beispielhafte Einordnung von Signalen¶

50 Hz Netzspannung (Sinuswelle) → Deterministisch & Periodisch
EKG-Signal → Deterministisch & Aperiodisch (weil leicht variierend, aber nicht zufällig)
Thermisches Rauschen → Stochastisch & Aperiodisch
Jitter in einem Taktgeber → Stochastisch & Periodisch (da es um eine Grundfrequenz variiert)

1.1.4 Energie- vs. Leistungssignale¶

👉 Warum ist das wichtig?
Diese Unterscheidung ist in der Signalverarbeitung zentral, weil sie bestimmt, welche Analyseverfahren anwendbar sind.

Energiesignale
- Haben eine endliche Gesamtenergie.
- Beispiel: Ein kurzer elektrischer Impuls.
Mathematische Definition:

\[E=∫−∞∞∣x(t)∣^2dt\]

Falls EEE endlich ist, handelt es sich um ein Energiesignal.
Leistungssignale
- Haben eine endliche, aber konstante mittlere Leistung.
- Beispiel: Ein Sinussignal über eine lange Zeit.
Mathematische Definition:

\[P=lim⁡T→∞12T∫−TT∣x(t)∣^2dt\]

Falls PPP endlich ist, handelt es sich um ein Leistungssignal.

🔎 Wichtige Anwendung:

Energiesignale tauchen oft in einmaligen Ereignissen auf (z. B. Pulssignale in der Medizintechnik).
Leistungssignale sind relevant für dauerhafte Übertragungen (z. B. Radio- oder WLAN-Signale).

1.2 Zeitbereichsanalyse¶

1.2.1 Symmetrie von Signalen¶

👉 Warum ist das wichtig?
Die Symmetrie eines Signals bestimmt, ob man es effizienter verarbeiten kann (z. B. mit Fouriertransformationen).

Gerade Signale:
- Bleiben unverändert, wenn man sie spiegelt.
- Beispiel: Kosinusfunktion $\(x(t)=cos⁡(t)⇒x(−t)=x(t)$\)
- Ungerade Signale:
- Wechseln das Vorzeichen bei Spiegelung.
- Beispiel: Sinusfunktion $\(x(t)=sin⁡(t)⇒x(−t)=−x(t)$\)

🔎 Wichtige Anwendung:
Bei Fouriertransformationen verschwinden entweder Sinus- oder Kosinusanteile, wenn das Signal eine bestimmte Symmetrie hat.

1.2.2 Faltung (Convolution)¶

👉 Warum ist das wichtig?
Faltung beschreibt, wie ein System auf ein Eingangssignal reagiert.

Mathematische Definition:

\[(y * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau\]

$x(t)$ ist das Eingangssignal.
$h(t)$ ist die Systemantwort.
Das Ergebnis ist das Ausgangssignal.

🔎 Wichtige Anwendung:
Filter in der Signalverarbeitung nutzen die Faltung, um bestimmte Frequenzen herauszufiltern (z. B. Rauschunterdrückung).

1.2.3 Delta-Impuls δ(t)¶

👉 Warum ist das wichtig?
Der Delta-Impuls ist ein ideales Testsignal für Systeme.

Definition: $$\(δ(t)={∞,t=00,t≠0\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases}δ(t)={∞,0,t=0t=0$\)
mit der Eigenschaft $\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$\)