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1. Grundlagen

Grundlagen von Signalen, Sensoren und Systemen

Diese drei Begriffe sind die Basis für dein Fach:

  • Signale sind physikalische Größen, die Informationen transportieren (z. B. Spannung, Strom, Schall, Temperatur).
  • Sensoren sind Bauelemente, die physikalische Größen in elektrische Signale umwandeln (z. B. Mikrofon, Thermoelement).
  • Systeme verarbeiten Signale und können sie verändern, filtern oder analysieren (z. B. Verstärker, Filter, Algorithmen zur Sprachverarbeitung).

1. Eigenschaften von Signalen

1.1 Klassifikation von Signalen

  • Analog vs. Digital

    • Analoge Signale sind kontinuierlich (z. B. Temperaturverlauf).
    • Digitale Signale haben diskrete Werte (z. B. Binärsignale 0 und 1).

    • Deterministisch vs. Stochastisch

    • Deterministische Signale sind vorhersehbar (z. B. Sinusschwingung).

    • Stochastische Signale enthalten Zufallsanteile (z. B. Rauschen).

    • Periodisch vs. Aperiodisch

    • Periodische Signale wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.

    • Aperiodische Signale tun das nicht.

    • Energie- vs. Leistungssignale

    • Energiesignal: Die gesamte Energie ist endlich (z. B. kurzer Impuls).

    • Leistungssignal: Die Leistung bleibt konstant über die Zeit (z. B. Sinus).

1.2 Zeitbereichsanalyse

  • Signale werden meist als Funktion der Zeit dargestellt: x(t)
  • Wichtige Eigenschaften:
    • Symmetrie:
      • Gerades Signal: \(x(-t) = x(t)\) (z. B. Kosinusfunktion)
      • Ungerades Signal: \(x(-t) = -x(t)\) (z. B. Sinusfunktion)
    • Faltung (Convolution):
      • Ermöglicht die Berechnung des Systemverhaltens mit $$ (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \cdot h(t - \tau) \, d\tau $$
    • Delta-Impuls δ(t)\delta(t)δ(t):
      • Idealisierte Funktion, die unendlich schmal ist, aber Fläche 1 besitzt.
      • Erfüllt die "Ausblendeeigenschaft": $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \delta(t - t_0) \, dt = f(t_0) $$

2. Fourier-Analyse

Fourier-Methoden sind essenziell für die Analyse von Signalen, besonders in der Klausur.

2.1 Fourierreihe (Periodische Signale)

  • Ein periodisches Signal kann als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden: $$ x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n \omega_0 t) + b_n \sin(n \omega_0 t) \right) $$
\[ \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \]

2.2 Fourier-Transformation (Aperiodische Signale)

  • Wandelt ein Zeitsignal in den Frequenzbereich um:

    \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt \]

    % Umkehrtransformation: $$ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \cdot e^{j 2 \pi f t} \, df $$ - Ermöglicht die Analyse von Frequenzanteilen in einem Signal. - Wichtige Eigenschaft: Die Umkehrtransformation bringt uns zurück ins Zeitdomain. - Eigenschaften der Fourier-Transformation:

    • Linearität: $$ \mathcal{F} { a x_1(t) + b x_2(t) } = a X_1(f) + b X_2(f) $$

    • Verschiebung im Zeitbereich: $$ \mathcal{F} { x(t - t_0) } = e^{-j 2 \pi f t_0} \cdot X(f) $$

    • Faltungssatz: $$ \mathcal{F} { x_1(t) * x_2(t) } = X_1(f) \cdot X_2(f) $$

2.3 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

  • Verwendet in der digitalen Signalverarbeitung, um diskrete Signale im Frequenzbereich darzustellen.
  • Berechnung durch Fast Fourier Transform (FFT).

3. Systemtheorie

Ein System verarbeitet Eingangssignale und erzeugt Ausgangssignale.

3.1 Eigenschaften eines Systems

  • Linearität: Wenn das System die Überlagerung von Signalen beibehält.
  • Zeitinvarianz: Wenn sich das Systemverhalten nicht ändert, egal wann ein Signal anliegt.
  • Kausalität: Das System reagiert nur auf vergangene und gegenwärtige Eingaben.
  • Stabilität: Wenn das Ausgangssignal für eine begrenzte Eingabe begrenzt bleibt.

3.2 Übertragungsfunktion

  • Die Übertragungsfunktion beschreibt das Verhalten eines Systems im Frequenzbereich: $$ H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} $$

    • Zeigt, welche Frequenzen verstärkt oder abgeschwächt werden.
    • Wird für Filter und Signalverarbeitung verwendet.

4. Filter

Filter dienen dazu, bestimmte Frequenzanteile eines Signals zu dämpfen oder zu verstärken.

4.1 Arten von Filtern

  • Tiefpassfilter: Lässt niedrige Frequenzen durch, blockiert hohe.
  • Hochpassfilter: Lässt hohe Frequenzen durch, blockiert niedrige.
  • Bandpassfilter: Lässt nur einen bestimmten Frequenzbereich durch.
  • Notch-Filter: Blockiert eine schmale Frequenz (z. B. Netzbrumm 50 Hz).

  • Digitale Filter:

    • FIR-Filter (Finite Impulse Response)
    • IIR-Filter (Infinite Impulse Response)

5. Digitalisierung von Signalen

  • Abtastung (Sampling):

    • Um ein analoges Signal digital zu verarbeiten, wird es mit einer bestimmten Frequenz abgetastet.
    • Nyquist-Theorem: Die Abtastfrequenz muss mindestens das Doppelte der höchsten Signalfrequenz sein.

    • Quantisierung:

    • Der kontinuierliche Wertebereich wird in diskrete Stufen umgewandelt.

    • Führt zu Quantisierungsrauschen.