1. Grundlagen

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Grundlagen von Signalen, Sensoren und Systemen

Diese drei Begriffe sind die Basis für dein Fach:

• Signale sind physikalische Größen, die Informationen transportieren (z. B. Spannung, Strom, Schall, Temperatur).
• Sensoren sind Bauelemente, die physikalische Größen in elektrische Signale umwandeln (z. B. Mikrofon, Thermoelement).
• Systeme verarbeiten Signale und können sie verändern, filtern oder analysieren (z. B. Verstärker, Filter, Algorithmen zur Sprachverarbeitung).

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1. Eigenschaften von Signalen

1.1 Klassifikation von Signalen

• Analog vs. Digital

  • Analoge Signale sind kontinuierlich (z. B. Temperaturverlauf).
  • Digitale Signale haben diskrete Werte (z. B. Binärsignale 0 und 1).

  • Deterministisch vs. Stochastisch

  • Deterministische Signale sind vorhersehbar (z. B. Sinusschwingung).

  • Stochastische Signale enthalten Zufallsanteile (z. B. Rauschen).

  • Periodisch vs. Aperiodisch

  • Periodische Signale wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.

  • Aperiodische Signale tun das nicht.

  • Energie- vs. Leistungssignale

  • Energiesignal: Die gesamte Energie ist endlich (z. B. kurzer Impuls).

  • Leistungssignal: Die Leistung bleibt konstant über die Zeit (z. B. Sinus).

1.2 Zeitbereichsanalyse

• Signale werden meist als Funktion der Zeit dargestellt: x(t)x(t)x(t)
• Wichtige Eigenschaften:
  • Symmetrie:
    • Gerades Signal: x(−t)=x(t)x(-t) = x(t)x(−t)=x(t) (z. B. Kosinusfunktion)
    • Ungerades Signal: x(−t)=−x(t)x(-t) = -x(t)x(−t)=−x(t) (z. B. Sinusfunktion)
  • Faltung (Convolution):
    • Ermöglicht die Berechnung des Systemverhaltens mit (x∗h)(t)=∫−∞∞x(τ)h(t−τ)dτ(x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau(x∗h)(t)=∫−∞∞​x(τ)h(t−τ)dτ
  • Delta-Impuls δ(t)\delta(t)δ(t):
    • Idealisierte Funktion, die unendlich schmal ist, aber Fläche 1 besitzt.
    • Erfüllt die "Ausblendeeigenschaft": ∫−∞∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) dt = f(t_0)∫−∞∞​f(t)δ(t−t0​)dt=f(t0​)

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2. Fourier-Analyse

Fourier-Methoden sind essenziell für die Analyse von Signalen, besonders in der Klausur.

2.1 Fourierreihe (Periodische Signale)

• Ein periodisches Signal kann als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden: x(t)=a0+∑n=1∞(ancos⁡(nω0t)+bnsin⁡(nω0t))x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n \omega_0 t) + b_n \sin(n \omega_0 t) \right)x(t)=a0​+n=1∑∞​(an​cos(nω0​t)+bn​sin(nω0​t))
  • an,bna_n, b_nan​,bn​ sind die Fourier-Koeffizienten.
  • ω0=2πT\omega_0 = \frac{2\pi}{T}ω0​=T2π​ ist die Grundfrequenz.

2.2 Fourier-Transformation (Aperiodische Signale)

• Wandelt ein Zeitsignal in den Frequenzbereich um:

  X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdtX(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi f t} dtX(f)=∫−∞∞​x(t)e−j2πftdt - Ermöglicht die Analyse von Frequenzanteilen in einem Signal. - Wichtige Eigenschaft: Die Umkehrtransformation bringt uns zurück ins Zeitdomain. - Eigenschaften der Fourier-Transformation:

  • Linearität: F{ax1(t)+bx2(t)}=aX1(f)+bX2(f)\mathcal{F}{ax_1(t) + bx_2(t)} = aX_1(f) + bX_2(f)F{ax1​(t)+bx2​(t)}=aX1​(f)+bX2​(f)
  • Verschiebung im Zeitbereich: F{x(t−t0)}=e−j2πft0X(f)\mathcal{F}{x(t - t_0)} = e^{-j2\pi f t_0} X(f)F{x(t−t0​)}=e−j2πft0​X(f)
  • Faltungssatz: F{x1(t)∗x2(t)}=X1(f)X2(f)\mathcal{F}{x_1(t) * x_2(t)} = X_1(f) X_2(f)F{x1​(t)∗x2​(t)}=X1​(f)X2​(f)

2.3 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

• Verwendet in der digitalen Signalverarbeitung, um diskrete Signale im Frequenzbereich darzustellen.
• Berechnung durch Fast Fourier Transform (FFT).

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3. Systemtheorie

Ein System verarbeitet Eingangssignale und erzeugt Ausgangssignale.

3.1 Eigenschaften eines Systems

• Linearität: Wenn das System die Überlagerung von Signalen beibehält.
• Zeitinvarianz: Wenn sich das Systemverhalten nicht ändert, egal wann ein Signal anliegt.
• Kausalität: Das System reagiert nur auf vergangene und gegenwärtige Eingaben.
• Stabilität: Wenn das Ausgangssignal für eine begrenzte Eingabe begrenzt bleibt.

3.2 Übertragungsfunktion

• Die Übertragungsfunktion beschreibt das Verhalten eines Systems im Frequenzbereich: H(f)=Y(f)X(f)H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}H(f)=X(f)Y(f)​
  • Zeigt, welche Frequenzen verstärkt oder abgeschwächt werden.
  • Wird für Filter und Signalverarbeitung verwendet.

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4. Filter

Filter dienen dazu, bestimmte Frequenzanteile eines Signals zu dämpfen oder zu verstärken.

4.1 Arten von Filtern

• Tiefpassfilter: Lässt niedrige Frequenzen durch, blockiert hohe.

• Hochpassfilter: Lässt hohe Frequenzen durch, blockiert niedrige.

• Bandpassfilter: Lässt nur einen bestimmten Frequenzbereich durch.

• Notch-Filter: Blockiert eine schmale Frequenz (z. B. Netzbrumm 50 Hz).

• Digitale Filter:

  • FIR-Filter (Finite Impulse Response)
  • IIR-Filter (Infinite Impulse Response)

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5. Digitalisierung von Signalen

• Abtastung (Sampling):

  • Um ein analoges Signal digital zu verarbeiten, wird es mit einer bestimmten Frequenz abgetastet.
  • Nyquist-Theorem: Die Abtastfrequenz muss mindestens das Doppelte der höchsten Signalfrequenz sein.

  • Quantisierung:

  • Der kontinuierliche Wertebereich wird in diskrete Stufen umgewandelt.

  • Führt zu Quantisierungsrauschen.